数据结构--出栈顺序

近日在复习数据结构,看到栈的时候,发现1个元素进栈,有1种出栈顺序;2个元素进栈,有2种出栈顺序;3个元素进栈,有5种出栈顺序,那么一个很自然地问题就是n个元素进栈,共有多少种出栈顺序?

我们把n个元素的出栈个数的记为f(n), 那么对于1,2,3, 我们很容易得出:

f(1) = 1 //即 1

​ f(2) = 2 //即 12、21

​ f(3) = 5 //即 123、132、213、321、231

然后我们来考虑f(4), 我们给4个元素编号为a,b,c,d, 那么考虑:元素a只可能出现在1号位置,2号位置,3号位置和4号位置(很容易理解,一共就4个位置,比如abcd,元素a就在1号位置)。

分析:

    1. 如元素a在1号位置,那么只可能a进栈,马上出栈,此时还剩元素b、c、d等待操作,就是子问题f(3);
    1. 如果元素a在2号位置,那么一定有一个元素比a先出栈,即有f(1)种可能顺序(只能是b),还剩c、d,即f(2), 根据乘法原理,一共的顺序个数为f(1) * f(2);
    1. 如果元素a在3号位置,那么一定有两个元素比1先出栈,即有f(2)种可能顺序(只能是b、c),还剩d,即f(1),根据乘法原理,一共的顺序个数为f(2) * f(1);
    1. 如果元素a在4号位置,那么一定是a先进栈,最后出栈,那么元素b、c、d的出栈顺序即是此小问题的解,即 f(3);

结合所有情况,即f(4) = f(3) + f(2) * f(1) + f(1) * f(2) + f(3);
为了规整化,我们定义f(0) = 1;于是f(4)可以重新写为:
f(4) = f(0)*f(3) + f(1)*f(2) + f(2) * f(1) + f(3)*f(0)
然后我们推广到n,推广思路和n=4时完全一样,于是我们可以得到:
f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + ... + f(n-1)*f(0)

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Q.E.D.